Probabilité, espérance et séries de pertes
Un taux de réussite élevé peut faire perdre de l’argent. Apprenez à évaluer toute la distribution plutôt que la statistique la plus flatteuse.
Le taux de réussite n’est qu’un ingrédient
Gagner souvent et gagner de l’argent sont deux affirmations différentes. Un processus peut produire de nombreux petits gains interrompus par quelques grosses pertes. Un autre peut perdre fréquemment, mais gagner parfois davantage que ses pertes cumulées. Pour comprendre l’un ou l’autre, consignez fréquence et ampleur des résultats, pas seulement le nombre de lignes vertes du journal.
Dans un modèle simplifié à deux issues, le profit espéré par opération est égal à la probabilité de gain multipliée par le gain moyen, moins la probabilité de perte multipliée par la perte moyenne, moins les coûts moyens. C'est une moyenne mathématique fondée sur des probabilités supposées. Ce n'est pas une promesse concernant la prochaine opération, un mois particulier ou la survie d'un compte. Les probabilités elles-mêmes doivent généralement être estimées.
Calculer la version nette
Supposons qu'un processus hypothétique soit gagnant dans 40 % des cas, avec un gain brut moyen de 180 $ et une perte brute moyenne de 100 $. Son espérance brute est de 0,40 × 180 $ moins 0,60 × 100 $, soit 12 $. Si les coûts moyens d'aller-retour sont de 15 $, l'espérance nette est de −3 $. Un rapport gain/risque attrayant ne sauve pas un processus de ses coûts réels.
Considérons maintenant un processus gagnant dans 80 % des cas, avec un gain de 20 $ par succès et une perte de 100 $ par échec. Avant coûts, son espérance est de 16 $ moins 20 $, soit −4 $. Le qualifier de système fiable à 80 % décrit sa fréquence de réussite, mais masque son économie. Des pertes rares peuvent aussi dépasser tout ce qui a été observé dans un échantillon court.
Respecter l’incertitude de l’échantillon
Un taux de réussite d’échantillon est une estimation, pas une propriété intrinsèque gravée dans le marché. Dix gains sur vingt donnent peu de preuves sur la distribution de long terme. Conditions de marché, qualité d’exécution et règles de sélection changent. Indiquer la taille et la période d’observation fait donc partie de la statistique elle-même.
La formule simple réduit également tous les gains et toutes les pertes à des moyennes. Examinez la liste complète des résultats : quelques opérations exceptionnelles peuvent expliquer la totalité du résultat. Recalculez-le sans le gain le plus important, avec des coûts plus élevés et des hypothèses d'exécution moins favorables. Ce sont des exercices de sensibilité, pas des prévisions, mais ils révèlent à quel point une conclusion dépend de détails favorables.
Deux échantillons peuvent gagner en moyenne 10 dollars par opération sans apporter des preuves aussi solides. Le premier peut réunir des résultats peu dispersés ; dans le second, un gain exceptionnel peut compenser de nombreuses pertes. Pour des observations indépendantes, de même distribution et de variance finie, l’erreur-type de la moyenne s’estime par l’écart-type de l’échantillon divisé par la racine carrée du nombre d’observations. Des positions qui se chevauchent, des pertes regroupées ou des conditions changeantes limitent la portée de ce calcul.
Prévoir les séquences, pas seulement les moyennes
Même si chaque transaction indépendante avait une probabilité de perte connue de 50 %, quatre transactions consécutives déterminées seraient toutes perdantes avec une probabilité de 0,5 à la puissance quatre, soit 6,25 %. Ce n'est pas la probabilité d'observer au moins une série de quatre pertes quelque part dans une longue séquence : de nombreux points de départ sont possibles. Les résultats réels peuvent aussi se regrouper plutôt que rester indépendants.
Une moyenne positive n’empêche ni fortes baisses de capital, ni appels de marge, ni abandon du processus. Un rapport sur papier doit montrer séquence des résultats, capital cumulé et pire baisse depuis un sommet antérieur. L’arithmétique est utile parce qu’elle expose les hypothèses. Elle devient dangereuse lorsque des entrées estimées sont présentées avec la certitude de constantes physiques connues.
Gardez des unités cohérentes pour comparer les stratégies. Une espérance en dollars calculée pour une taille de position n'est pas directement comparable à une autre portant sur dix fois plus d'exposition. Exprimer les résultats par rapport à une perte initiale planifiée explicitement définie peut faciliter la comparaison, mais les écarts de cotation peuvent produire des pertes supérieures à cette unité. Présentez les résultats monétaires réels à côté de toute mesure normalisée pour éviter que la transformation masque leur ampleur.
Donner une plage plausible plutôt qu’une estimation isolée
Imaginez 55 opérations gagnantes sur 100 essais indépendants, avec une probabilité de gain constante. La fréquence observée est de 55 %, mais l’intervalle de confiance de Wilson à 95 % s’étend approximativement de 45,2 % à 64,4 %. Il englobe donc des probabilités défavorables pour un pari à gains et pertes égaux, avant même les frais. Le niveau de confiance décrit la couverture de la méthode lors de répétitions respectant ses hypothèses ; il n’attribue pas une probabilité de 95 % à la présence d’un paramètre de marché changeant dans cet intervalle précis.
Dans l’exemple associant un gain brut de 150 dollars, une perte de 100 et un coût de 10, l’espérance nette s’écrit 250p − 110 dollars. Elle vaut −10 pour p = 0,40 et 15 pour p = 0,50. Fixer les montants permet d’isoler l’incertitude sur p. En pratique, gain moyen, perte moyenne et coûts sont eux aussi estimés. Faire varier uniquement le taux de réussite tout en considérant le reste comme certain sous-estime les sources d’incertitude.
La capitalisation ajoute une distinction. Un gain de 20 % suivi d’une perte de 20 % transforme 1 000 dollars en 960 : 1 000 × 1,20 × 0,80. La moyenne arithmétique des pourcentages est nulle, mais le patrimoine a diminué. Une moyenne favorable par opération ne décrit donc pas à elle seule la trajectoire du compte : exposition, réinvestissement et besoins de liquidités comptent également.
Un exercice utile présente l’espérance nette estimée, une trajectoire de compte fondée sur des règles de taille explicites et la sensibilité aux paramètres incertains. Les séquences simulées restent conditionnelles à leur modèle. Mélanger aléatoirement les opérations détruit les dépendances entre résultats voisins. Rééchantillonner des blocs peut préserver une partie de leur regroupement, sans recréer des crises absentes des données de départ.